Το έργο του
Αινστάιν: Η θεωρία της σχετικότητας
Αν δεν θέλουμε τα αποτελέσματα της φυσικής, της αστρονομίας και γενικά της επιστήμης να πέφτουν στο κενό, κάθε περιγραφή γεγονότων στο χώρο απαιτεί τη χρήση ενός στερεού σώματος, στο οποίο αυτά τα γεγονότα πρέπει να αναφέρονται (σώμα αναφοράς) π.χ. σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων. Αυτή όμως η σχέση υποθέτει ότι οι νόμοι της ευκλείδειας γεωμετρίας ισχύουν για τις «ευθείες», όπου η ευθεία παριστάνεται, φυσικώς, από δυο σημεία σε ένα σώμα στερεό και μη ελαστικό.
Η θεωρία της γενικής σχετικότητας κάνει αναγκαίες μια τελειοποίηση και μια αλλαγή των παραπάνω αντιλήψεων.
Περί ειδικής σχετικότητας
Πριν τη θεωρία της σχετικότητας, η κλασσική φυσική είχε πάντα δεχθεί σιωπηρά ότι η ένδειξη του χρόνου είχε μια αξία απόλυτη, δηλαδή ότι ήταν ανεξάρτητη από την κατάσταση κίνησης του σώματος αναφοράς. Βέβαια η κατάσταση δικαιολογείται απόλυτα αν θυμηθούμε ότι το 1670 ο Sir Isaac Newton είχε θεωρήσει την ταχύτητα διάδοσης του φωτός σαν άπειρη, ενώ μόλις το 1727 γίνεται η πρώτη μέτρηση της ταχύτητας του φωτός από τον J. Bradley. Παράδειγμα επιστημονικής πλάνης: Αν πιστεύαμε ότι η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στην ατμόσφαιρα είναι άπειρη, τότε θα διαπιστώναμε ότι όταν ένας ξυλοκόπος, σε απόσταση από εμάς, κόβει ξύλα και κατεβάζει το τσεκούρι δεν ακούγεται κανένας θόρυβος, αλλά όταν το ανεβάζει αμέσως μετά, στο ανώτατο σημείο του περίπου, ακούγεται ένας κρότος. Σαν αποτέλεσμα, με το δίκιο μας θα καταλήγαμε στο συμπέρασμα ότι κάπου στην ανοδική του πορεία το τσεκούρι συναντά ένα αόρατο εμπόδιο και δημιουργεί, η σύγκρουσή του με το υποτιθέμενο εμπόδιο, τον κρότο. Κάτι ανάλογο παθαίνουμε σήμερα και με τη μέτρηση του ταυτόχρονου 2 πραγμάτων, βάσει της ταχύτητας μεταδόσεως του φωτός που αντιλαμβανόμαστε με τα μάτια μας - η οποία αν και τεράστια, είναι όμως πεπερασμένη!
Όσο και αν η σχετικότητα του ταυτόχρονου μας σοκάρει, πρέπει να ζήσουμε μαζί της και να δεχθούμε και τους άλλους κλονισμούς που φέρνει! Γιατί ο χρόνος είναι θεμελιώδης έννοια της Νευτώνειας (κλασσικής) φυσικής, και μια δραστική αλλαγή στην αντίληψή μας γι' αυτόν σωριάζει ολόκληρο το οικοδόμημα της θεωρητικής φυσικής σα σπίτι από τραπουλόχαρτα. Σχεδόν τίποτα δεν μένει ανέγγιχτο. Ας πάρουμε για παράδειγμα την έννοια του μήκους, την άλλη θεμελιακή έννοια της θεωρητικής φυσικής. Επειδή το ταυτόχρονο είναι σχετικό, συνεπώς το ίδιο θα είναι και το μήκος. Και ασφαλώς δεν υπάρχει σταματημός στην επιδημία. Ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη, ενέργεια - και κάθε άλλη έννοια - εξαρτώνται από τις έννοιες του χρόνου και του μήκους. Όλο το συγκρότημα της φυσικής αλλάζει. Ο Einstein καταλήγει στους μετασχηματισμούς Lorentz, οι οποίοι δίδουν λύση στο πρόβλημα της σχετικότητας των μετρήσεων 2 παρατηρητών: Ποιες είναι οι τιμές x', y', z', t' ενός γεγονότος σε σχέση με k', εάν τα μεγέθη x, y, z, t του ίδιου γεγονότος σε σχέση με k είναι γνωστά; Παρατίθενται στη συνέχεια οι μετασχηματισμοί Lorentz καθώς και ο μετασχηματισμός του Γαλιλαίου που χρησιμοποιεί η κλασσική φυσική, και ο οποίος μπορεί να παραχθεί από τον μετασχηματισμό Lorentz, αν προσδιορίσουμε στο c τιμή άπειρη:
Μετασχηματισμός Lorentz
Μετασχηματισμός Galilei
Ο μη ελαστικός κανόνας σε κίνηση είναι, συνεπώς, πιο κοντός απ' ό,τι ο ίδιος κανόνας σε ακινησία, και μάλιστα το μήκος του μικραίνει όσο η ταχύτητά του μεγαλώνει. Για την ταχύτητα v=c, θα είναι ίσο με 0 (μηδέν). Για πιο μεγάλες ακόμη ταχύτητες θα ήταν φανταστικό. Απ' αυτό συμπεραίνουμε ότι στη θεωρία σχετικότητας η ταχύτητα του φωτός c παίζει το ρόλο της οριακής ταχύτητας που κανένα πραγματικό σώμα δεν μπορεί να τη φθάσει ή και να την ξεπεράσει. Επίσης, εξαιτίας της κίνησής του το ρολόι δουλεύει πιο αργά απ' ό,τι το ακίνητο. Εδώ, η c παίζει επίσης το ρόλο της οριακής ταχύτητας. Επειδή όμως, δεν μπορούμε πρακτικά να μεταδώσουμε στα ρολόγια και στους κανόνες παρά μόνο κινήσεις που συγκρινόμενες με την ταχύτητα του φωτός είναι πολύ αργές, τα παραπάνω συμπεράσματα μόλις μπορούν ν' αντιμετωπιστούν απ' ευθείας στην πραγματικότητα. Ας υποθέσουμε τώρα ότι ένας αστροναύτης εκτοξεύεται μ' έναν πύραυλο με ταχύτητα 8/10 της ταχύτητας του φωτός. Αν για τον πύραυλο περάσουν 30 χρόνια, στη Γη θα έχουν περάσει 51 χρόνια. Αν ο πύραυλος κινηθεί με το 99.5% της ταχύτητας του φωτός, τότε τα 30 χρόνια στον πύραυλο αντιστοιχούν σε 300 χρόνια στη Γη. Αν κινηθεί με το 99.99% της c, τότε τα 30 χρόνια στον πύραυλο θα αντιστοιχούν σε 2121 χρόνια στη Γη! Και πάει λέγοντας...
Ο Einstein απέδειξε ότι ο Α βρίσκει πως τα ρολόγια του Β δουλεύουν με βραδύτερο ρυθμό από τα δικά του. Αφού συνήλθαμε από την έκπληξή μας - δεν είχαμε πει πως τα ρολόγια είναι το ίδιο αξιόπιστα; - θα περιμέναμε, έτσι, ότι ο Β θα έβρισκε πως τα ρολόγια του Α δουλεύουν σε γρηγορότερο ρυθμό από τα δικά του. Και όμως όχι! Ο καθένας από τους δυο βρίσκει πως τα ρολόγια του άλλου δουλεύουν σε αργότερο ρυθμό.
Οι αμοιβαίες συστολές μηκών, όπως και οι αμοιβαίες επιβραδύνσεις ρολογιών, δεν περιέχουν αντίφαση. Από μια άποψη μάλιστα θυμίζουν τα φαινόμενα της προοπτικής. Αν π.χ. δυο άνθρωποι με το ίδιο ανάστημα που βαδίζουν μακριά ο ένας από τον άλλο, σταθούν και κοιτάξουν πίσω, ο καθένας τους θα φανεί στον άλλον μικρότερος. Και ασφαλώς, ο μόνος λόγος που αυτή η αμοιβαία συστολή δεν μας ξενίζει σαν αντίφαση, είναι πως τη συνηθίσαμε!
Τι γίνεται όταν ένα αντικείμενο (π.χ. ηλεκτρόνιο) αρχίσει να πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός; Ο Newton είχε πει ότι η επιτάχυνση α είναι ανάλογη με τη δύναμη F που ασκείται και είναι αντιστρόφως ανάλογη με τη μάζα m (που ονομάζεται επίσης αδράνεια) του αντικειμένου. Όσο πιο μεγάλη η δύναμη τόσο πιο γρήγορα αυξάνει ταχύτητα και όσο πιο μεγάλη η μάζα (η αδράνεια) τόσο πιο δύσκολο είναι να το κάνουμε να κινηθεί γρήγορα. «Newton: Μέτρο της αδράνειας ενός σώματος αποτελεί η μάζα αυτού».
Ο τύπος του Einstein
Ο νέος τύπος δείχνει πως όταν v=c, τότε α=0 (μηδέν), οπότε και να συνεχίσουμε την ώθηση, το ηλεκτρόνιο δεν αποκτά μεγαλύτερη ταχύτητα. Το νόημα είναι σχετικά σαφές: Όσο το ηλεκτρόνιο πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός, φαίνεται να γίνεται όλο και πιο βαρύ, γιατί γίνεται όλο και πιο δύσκολο ν' αυξήσει την ταχύτητά του. Ο Einstein θέλει τώρα να δείξει πώς η ταχύτητα του ηλεκτρονίου σχετίζεται με την ενέργειά του. Ο Newton είχε δώσει τον παρακάτω τύπο της ενέργειας (κινητικής) ενός σώματος. Ο Einstein τον αναθεωρεί:
Τύπος του Newton 
Τύπος του Einstein
Όταν δίνουμε σ' ένα σώμα όλο και περισσότερη ενέργεια, το σώμα αυτό, αντί να κινείται γρηγορότερα, γίνεται όλο και πιο βαρύ. Αλλά τότε, αν χρειάζεται ενέργεια για ν' αποκτήσει το σώμα περισσότερη αδράνεια (μάζα), τότε η αδράνεια πρέπει να περιέχει ενέργεια. Συνεπώς, ακόμη και αν δεν βάλουμε καθόλου έργο, δηλαδή ακόμη και αν η κινητική ενέργεια είναι μηδέν, το σώμα (π.χ. ηλεκτρόνιο) εξακολουθεί να έχει μια ενέργεια (δυναμική) E=mc2. ʼρα η αδράνεια ενός σώματος εξαρτάται από την ενέργεια που περιέχει, αλλά θυμηθείτε... κανείς δεν ξέρει στην πραγματικότητα τι είναι αδράνεια - ή γιατί την έχουν τα αντικείμενα! Δεν μπορείς ν' αποδείξεις έναν ορισμό. Το μόνο που μπορείς να κάνεις είναι ν' αποδείξεις ότι έχει μια λογική! Ο Einstein δίδει ένα γενικό νόμο, πως αν ένα σώμα χάνει ή κερδίζει ένα ποσό ενέργειας με οποιαδήποτε μορφή, τότε χάνει ή κερδίζει ένα ποσό μάζας, και το αντίστροφο! Σύμφωνα μ' αυτό, αφού το c είναι τόσο μεγάλο, αν μια λάμπα ισχύος 100 Watts ακτινοβολεί για 100 χρόνια, θα χάσει από τη μάζα της κάτι λιγότερο από 30 εκατομμυριοστά του γραμμαρίου!
Η κλασσική φυσική γνωρίζει δυο αρχές διατήρησης βασικής σημασίας, την αρχή διατήρησης της ενέργειας και την αρχή διατήρησης της μάζας. Χάρη στη θεωρία της σχετικότητας οι δύο αρχές ενώθηκαν σε μία μόνον αρχή (E=mc2). Με τη μάζα και την ενέργεια απόλυτα ισοδύναμες, κάθε σβώλος γης, κάθε φτερό, κάθε κόκκος σκόνης αντιμετωπίζονται πλέον σαν θαυμαστές δεξαμενές τρομακτικής φυλακισμένης ενέργειας.
Ο Newton είχε δώσει για τον κόσμο μιαν εικόνα όμορφη, ταιριασμένη μέσα στον απόλυτο χώρο και στον απόλυτο χρόνο. Ο Einstein ήρθε να θρυμματίσει αυτή την εικόνα, λέγοντας ότι διαφορετικοί παρατηρητές δεν συμφωνούν για το ταυτόχρονο. Επειδή μάλιστα συμβαίνει να διαφοροποιούνται και οι μετρήσεις τους για τα μήκη, καταλήγουμε πως διαφορετικοί παρατηρητές έχουν διαφορετικά - ιδιωτικά - συστήματα χώρου και χρόνου. Παρά τις ασυμφωνίες τους όμως αυτές, οι παρατηρητές έχουν πολλά κοινά: π.χ. βρίσκουν για το φως την ίδια σταθερή ταχύτητα c. Αλλά πάνω απ' όλα κατοικούν στο ίδιο σύμπαν! Το τελευταίο μπορεί να φαίνεται υπερβολικά ολοφάνερο, αλλ' όμως μας οδηγεί στην καρδιά του προβλήματος! Διότι οι ιδιωτικοί χώροι και χρόνοι των διαφορετικών παρατηρητών δεν μπορούν να θεωρηθούν απομονωμένοι μεταξύ τους. Όπως απέδειξε ο Minkowski ανήκουν όλοι σε μία και μοναδική, παγκόσμια περιοχή που είναι μια ένωση του χώρου και του χρόνου, που ονομάστηκε χωροχρόνος. Πώς όμως οι διαφορετικοί παρατηρητές αποκτούν τους ιδιωτικούς τους χώρους και χρόνους; Μα χωρίζοντας αυτόν τον ενωμένο χωροχρόνο, με διαφορετικούς τρόπους, σε χώρο και χρόνο. Όμως προσοχή! Ο χωροχρόνος έχει 4 διαστάσεις. Ας μην προσπαθήσουμε να σχηματίσουμε μια εικόνα γι' αυτόν. Είναι τελείως αδύνατον! Ούτε ο Einstein ούτε και ο Minkowski «έβλεπαν» αυτόν τον χωροχρόνο: Οι επιστήμονες δουλεύουν μαζί του με τη βοήθεια ενός μαθηματικού μοντέλου και παρόλο που τους επιτρέπει να εκφράζονται με μεγάλη επιδεξιότητα, τους είναι επίσης αδύνατον να τον δουν! Εκ πρώτης όψεως, και το Νευτώνειο Σύμπαν ήταν τετραδιάστατο, επειδή όμως ο απόλυτος χώρος στήνεται ξεχωριστά από τον απόλυτο χρόνο, ο καθένας καταλήγει να βλέπει με 3+1 μάλλον διαστάσεις παρά με 4. Κάτι τέτοιο όμως δεν συμβαίνει με το χωροχρόνο της σχετικότητας: Ο χώρος και ο χρόνος είναι υφασμένοι μαζί τόσο θεμελιακά, που ο όρος τετραδιάστατος είναι αναπόφευκτος. Στη Νευτώνεια φυσική οι αποστάσεις είναι ίσες μεταξύ τους και παρομοίως και οι χρόνοι είναι ίσοι μεταξύ τους, των δύο παρατηρητών. Στη θεωρία όμως της σχετικότητας, μόνον η σύνθεσή τους έχει την ίδια τιμή για όλους τους παρατηρητές. Βλέπε παράδειγμα σε 3 διαστάσεις:
Από αυτή την ομοιότητα, παρακινούμεθα να θεωρήσουμε τον χρόνο σαν μια τέταρτη διάσταση που, όταν εκφραστεί σε μήκος, αναμιγνύεται λίγο-πολύ ισότιμα με τις τρεις διαστάσεις του χώρου σχηματίζοντας ένα ενιαίο σύνολο, τον τετραδιάστατο χωροχρόνο. Ο πειρασμός μαθηματικά είναι ακατανίκητος, παρόλο που ο χωροχρόνος αρνείται να μπει σε κάποια ρεαλιστική εικόνα. Ας φανταστούμε την τελεία στο τέλος της πρότασης αυτής. Φυσικά την τελεία έχουμε συνηθίσει να τη θεωρούμε σαν ένα σημείο. Στην πραγματικότητα είναι ένα σημείο μόνιμο, ένα σημείο που διαρκεί μέσα στο χρόνο, όσο υπάρχει η σελίδα αυτή. Δεν έρχεται και φεύγει σαν μια λάμψη. Έτσι μπορούμε να φανταστούμε ότι το σημείο αυτό ξετυλίγεται μέσα στο χωροχρόνο, ότι είναι κάτι σαν κορδέλα ή, όπως λέγεται, μια κοσμική γραμμή.
Για να κάνουμε κάποια αναπαράσταση, ας φανταστούμε ότι η διάσταση του χώρου είναι ένας άξονας προς τα κάτω, πάνω στη σελίδα. Έτσι δυο κοσμικές γραμμές σαν του σχήματος θα παριστούν δυο σημεία που πλησιάζουν το ένα το άλλο. Όμως οι κοσμικές γραμμές καθαυτές δεν κινούνται.
Στο χωροχρόνο, παρελθόν, παρόν και μέλλον είναι όλα απλωμένα μπροστά μας, ακίνητα σαν τις λέξεις ενός βιβλίου. Στον χωροχρόνο, καθετί που για μας αποτελεί το παρελθόν, το παρόν και το μέλλον, εμφανίζεται ενιαία... Κάθε παρατηρητής, καθώς ο χρόνος του περνά, ανακαλύπτει - τρόπος του λέγειν - νέα στρώματα από το χωροχρόνο που τα νομίζει για διαδοχικές όψεις του υλικού κόσμου, παρόλο που πραγματικά το σύνολο των γεγονότων που αποτελούν τον χωροχρόνο υπάρχει πριν από τη γνώση του παρατηρητή γι' αυτά.
Το χωροχρονικό συνεχές της ειδικής σχετικότητας είναι ένα Ευκλείδειο συνεχές, δηλαδή ένα Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με 4 διαστάσεις. Αυτό δεν ισχύει στη γενική θεωρία της σχετικότητας, όπου το πεδίο βαρύτητας παραμορφώνει το φως και συνεπώς η ταχύτητα του φωτός δεν αποτελεί πλέον μια παγκόσμια σταθερά.
Όλες οι έννοιες που χρησιμοποιούμε για να περιγράψουμε τη φύση είναι περιορισμένες. Δεν είναι περιγραφές της πραγματικότητας, όπως έχουμε την τάση να πιστεύουμε, αλλά δημιουργήματα του νου μας. Μέρη του χάρτη και όχι του εδάφους.
Η πίστη πως η γεωμετρία βρίσκεται ενσωματωμένη σε όλα τα φυσικά πράγματα έχει τις ρίζες της στα αρχαία χρόνια. Η γεωμετρία θεωρήθηκε σαν ο τέλειος συνδυασμός της λογικής και της ομορφιάς κι έτσι της αποδόθηκε θεϊκή καταγωγή! Η Ευκλείδεια γεωμετρία αναγνωρίστηκε σαν η τέλεια ερμηνεία της φύσης του χώρου για περισσότερους από 25 αιώνες. Χρειάστηκε να έλθει ο Einstein για να αποδείξει σε επιστήμονες και φιλοσόφους, πως η γεωμετρία δεν βρίσκεται ενσωματωμένη στη φύση αλλά στον τρόπο σκέψης μας. Το νέο πλαίσιο, ο χωροχρόνος, βρίσκει την απόλυτη εφαρμογή του σε κάθε περίπτωση φαινομένων που αφορούν μεγάλες ταχύτητες ή ισχυρά πεδία βαρύτητας. Κάθε φορά που μελετάμε φυσικά φαινόμενα με μεγάλες ταχύτητες, μας είναι εξαιρετικά δύσκολο να τα συλλάβουμε διανοητικά κι ακόμη πιο δύσκολο να τα εκφράσουμε στην κοινή γλώσσα.
Το «παράδοξο των διδύμων» αποτελεί ίσως την πιο διαδεδομένη παραδοξολογία της σύγχρονης φυσικής: Αν ένας από τους δυο αδελφούς ταξιδέψει με τεράστια ταχύτητα στο εξωτερικό διάστημα, θα είναι κατά πολύ νεώτερος όταν επιστρέψει στη Γη, κι αυτό γιατί η καρδιά του, ο ρυθμός της κυκλοφορίας του αίματος, τα εγκεφαλικά του κύματα θ' ακολουθήσουν πολύ αργότερους ρυθμούς σε σύγκριση με τον αδελφό του που θα παραμείνει στη Γη. Ο διαστημικός ταξιδιώτης βέβαια δεν πρόκειται να νιώσει κάτι το ασυνήθιστο, αλλά κατά την επιστροφή του θα παρατηρήσει πως ο δίδυμος αδελφός του θα έχει γεράσει πολύ περισσότερο από τον ίδιο! Τα φαινόμενα αυτά μοιάζουν παράδοξα για όσο διάστημα αρνιόμαστε να τα δεχθούμε σαν τρισδιάστατες προβολές τετραδιάστατων συμβάντων, όπως οι σκιές είναι διδιάστατες προβολές τρισδιάστατων αντικειμένων. Αν είχαμε την ικανότητα να «δούμε» την τετραδιάστατη χωροχρονική πραγματικότητα, το στοιχείο της παραδοξολογίας θα εξαφανιζόταν από μόνο του!
Η θεωρία της ειδικής σχετικότητας αναφέρεται σε τομείς που δεν υπάρχει πεδίο βαρύτητας. Στα πεδία βαρύτητας όμως δεν υπάρχουν σώματα μη ελαστικά που να έχουν Ευκλείδειες ιδιότητες. Η υποθετική ύπαρξη σώματος αναφοράς μη ελαστικού είναι, συνεπώς, άχρηστη στη θεωρία της γενικής σχετικότητας. Γι' αυτό, χρησιμοποιούνται σώματα αναφοράς που όχι μόνο στο σύνολό τους κινούνται μ' έναν οποιονδήποτε τρόπο, αλλά και που παθαίνουν στη διάρκεια της κίνησής τους οποιαδήποτε αλλαγή μορφής σχήματος (μαλάκια αναφοράς). Στη μεγάλη γενίκευση, που επιβάλλεται μ' αυτόν τον τρόπο στους νόμους της φύσης, βρίσκεται η μοναδική δύναμη που είναι αναπόσπαστη με την αρχή της γενικής σχετικότητας. Σύμφωνα με τη γενική σχετικότητα, η βαρύτητα επιδρά στο χωροχρόνο και τον κάνει κυρτό. Πρόκειται για μια διατύπωση που δεν συλλαμβάνεται εύκολα από την ανθρώπινη φαντασία. Ας κάνουμε όμως και πάλι μια προσπάθεια με το παράδειγμα των δύο εντόμων: Ας συγκρίνουμε λοιπόν τη γεωμετρική συλλογιστική μιας ψείρας που ζει πάνω σε μιαν επίπεδη επιφάνεια μ' εκείνη μιας άλλης παρόμοιας ψείρας που ζει στην επιφάνεια μιας σφαίρας. Η ψείρα που ζει πάνω στην επίπεδη επιφάνεια θα διαπιστώσει πως το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι πάντα 180°. Αντίθετα, η ψείρα που ζει πάνω στη σφαίρα θ' ανακαλύψει πως το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι πάντα μεγαλύτερο από 180° και σε ακραίες περιπτώσεις είναι ίσο με 270°. Η πρώτη ακόμη ψείρα θα διαπιστώσει ότι το μήκος της περιφέρειας κύκλου είναι ίσο με 2πr, όπου r η ακτίνα του κύκλου. Αντίθετα, η ψείρα που ζει πάνω στη σφαίρα θα διαπιστώσει ότι η περιφέρειες κύκλων έχουν πάντα μήκος μικρότερο από 2πr:
Οι γεωμετρικές μελέτες των 2 εντόμων θα τα οδηγήσουν σε εντελώς διαφορετικούς δρόμους. Η πρώτη ψείρα θα καταλήξει στα αξιώματα και τους νόμους της Ευκλείδειας γεωμετρίας, ενώ η δεύτερη θα καταλήξει στις αρχές της σφαιρικής γεωμετρίας. Οι διαφορές τους σε μικρά μεγέθη θα είναι ασήμαντες, αλλά θα μεγαλώνουν συνεχώς, όσο οι ψείρες θ' ασχολούνται συνεχώς με όλο και μεγαλύτερα σχήματα. Οι γεωμετρικοί νόμοι ενός κυρτού χώρου θα είναι «αντι-Ευκλείδειοι», δηλαδή διαφορετικοί. Όπου υπάρχει ένα σώμα με μεγάλη μάζα, το διάστημα γύρω του είναι κυρτό και ο βαθμός της κυρτότητας, δηλαδή ο βαθμός της απόκλισης από την Ευκλείδεια γεωμετρία, εξαρτάται πάντα από τη μάζα του αντικειμένου. Η βαρύτητα δεν μπορεί να περιοριστεί στα όρια του τρισδιάστατου χώρου, αλλά επεκτείνεται στην περιοχή του τετραδιάστατου χωροχρόνου. Στην περιοχή του κυρτού χωροχρόνου, οι παραμορφώσεις που προκαλεί η βαρύτητα δεν αφορούν μόνον τις χωρικές σχέσεις που περιγράφει η γεωμετρία του Riemman αλλά και τις χρονικές σχέσεις, δηλαδή τα χρονικά διαστήματα. Η ροή του χρόνου δεν ακολουθεί σταθερό ρυθμό, αλλά μεταβάλλεται ανάλογα με την κυρτότητα της κάθε περιοχής και σύμφωνα με τη διανομή της μάζας των σωμάτων.
Η καμπυλότης του χωροχρόνου
Το πρώτο δείχνει πάνω στη σελίδα μας τον τρισδιάστατο χώρο γύρω από τον ήλιο, καμπυλωμένο από τη βαρύτητα (με την καμπυλότητα υπερβολικά τονισμένη). Εξαιτίας της καμπυλότητας, ένας πλανήτης στο P που έχει την τάση να κινηθεί προς τα δεξιά πάνω σε ευθεία γραμμή, αντί να κινηθεί έτσι, θ' ακολουθήσει κάποια καμπύλη τροχιά PQ. Έτσι, μπορούμε ίσως ν' αντιληφθούμε γιατί ένας πλανήτης διαγράφει μια τροχιά γύρω από τον ήλιο. Το διάγραμμα όμως αυτό είναι ελαττωματικό, γιατί δεν δείχνει ούτε τον χρόνο ούτε την καμπυλότητά του. Έτσι είναι παραπλανητικό, γιατί η κύρια αιτία της πλανητικής κίνησης δεν είναι τόσο η καμπύλωση του χώρου, όσο η καμπύλωση του χρόνου που, όπως είδαμε, συνδέεται με τη μεταβολή της ταχύτητας του φωτός σ' ένα βαρυτικό πεδίο.
Η καμπυλότητα του χρόνου δεν μπορεί εύκολα να παρασταθεί γραφικά. Χωρίς να τη δείξουμε, ας δούμε στη συνέχεια και το δεύτερο διάγραμμα με τον χρόνο σαν κατακόρυφο άξονα πάνω στη σελίδα μας:
Η διπλή γραμμή είναι η κοσμική γραμμή του ήλιου μέσα στο χρόνο. Η ελικοειδής γραμμή παριστάνει την κοσμική γραμμή ενός πλανήτη, μια γεωδαισιακή γραμμή του καμπυλωμένου χωροχρόνου γύρω από τον ήλιο. Ας φανταστούμε ότι είμαστε πάνω σε μια πλατφόρμα που παριστά το «παρόν» μας. Επειδή το παρόν μας κινείται προς το μέλλον, η πλατφόρμα στο διάγραμμα θα ανυψωθεί, αφού παραστήσαμε τον χρόνο με διεύθυνση προς τα πάνω. Καθώς η πλατφόρμα ανυψώνεται, η έλικα θα τη συναντήσει σε διαδοχικά σημεία που από την πλατφόρμα θα φαίνονται σαν ένα μοναδικό σημείο της τροχιάς γύρω από τον ήλιο.
Καθένα από τα δυο αυτά διαγράμματα ήταν εν γνώσει μας ελαττωματικό. Παρόλ' αυτά, το καθένα με τον τρόπο του μας δίνει κάποια ένδειξη περί τίνος πρόκειται, και αν τα συγκρατήσουμε - έστω και ασαφή - στο μυαλό μας, θα έχουμε μια όχι και τόσο κακή εικόνα του βαρυτικού κόσμου του Einstein.
Βλέποντας πόσο επισφαλές ήταν το εξωτερικό μέρος της θεμελίωσης που πάνω της ο Einstein έχτισε τη θεωρία του, νιώθουμε ν' αυξάνει ο θαυμασμός μας για τη διαίσθηση που τον οδήγησε στο αριστούργημά του. Μήπως άλλωστε επισφαλή δεν ήταν και τα θεμέλια της θεωρίας του Newton; Και μήπως πάλι ο Maxwell δεν έχτισε την ηλεκτρομαγνητική θεωρία πάνω σ' ένα παράξενο μηχανικό μοντέλο που και ο ίδιος έβρισκε απίστευτο; Φαίνεται σαν η μεγαλοφυία σπρωγμένη από έμπνευση να ξέρει από το ξεκίνημα, μ' έναν νεφελώδη τρόπο, το σκοπό που πρέπει να πετύχει. Στο βασανιστικό της ταξίδι μέσ' από μια αχαρτογράφητη περιοχή ενισχύει την πεποίθησή της με επιχειρήματα που ακολουθούν μάλλον κάποιο φροϋδικό παρά λογικό πλάνο. Τα επιχειρήματα αυτά από τη φύση τους δεν μπορεί να είναι άψογα, αφού ουσιαστικά εξυπηρετούν μια εξωλογική, διορατική, υποσυνείδητη έμπνευση. Στ' αλήθεια, δεν μπορούμε να απαιτούμε να είναι άψογα με τα αυστηρά λογικά κριτήρια, αφού αυτός που δημιουργεί μια επιστημονική επανάσταση πρέπει να χτίσει πάνω στις ιδέες που πρέπει να αντικαταστήσει!
Ήταν όμως οι εξισώσεις του Einstein, οι 10 τανυστικές βαρυτικές εξισώσεις πεδίου που διαμορφώνουν την καμπυλότητα του χωροχρόνου, αξιόπιστες; Αυτό μπορούσε να ελεγχθεί αμέσως. Η κίνηση του πλανήτη Ερμή δεν συμμορφωνόταν τέλεια στη Νευτώνεια θεωρία. Το περιήλιό του (το πλησιέστερο στον ήλιο σημείο της τροχιάς του) είχε παρατηρηθεί ότι προχωρούσε 5600΄΄ κάθε αιώνα και παρόλο που το μεγαλύτερο μέρος μπορούσε να εξηγηθεί με τη Νευτώνεια θεωρία, έμενε κάποιο υπόλοιπο 45΄΄ χωρίς κάλυψη. Η θεωρία της γενικής σχετικότητας μπόρεσε να καλύψει το έλλειμμα αυτό, υπολογίζοντας 43΄΄ πρόσθετη προώθηση του περιήλιου του Ερμή ανά αιώνα. Ας σημειωθεί, ότι σύμφωνα με τη θεωρία της γενικής σχετικότητας, που απομακρύνεται λίγο από αυτήν του Newton, υπάρχει μια μικρή διαφορά από τον νόμο της τροχιακής κίνησης των Kepler-Newton, έτσι που η γωνία που διαγράφει η ακτίνα ήλιος-πλανήτης, ανάμεσα σ' ένα περιήλιο και στο επόμενο, διαφέρει από τη γωνία της ολοκληρωμένης περιφοράς (δηλαδή από τις 360°), διότι ο μεγάλος άξονας της έλλειψης γυρίζει γύρω από τον ήλιο στην κατεύθυνση της τροχιακής κίνησης του πλανήτη. Αυτή όμως η περιστροφή για τους άλλους πλανήτες του ηλιακού μας συστήματος είναι τόσο μικρή που δεν μπορεί να διαπιστωθεί με τα όργανα μετρήσεων.
Απεδείχθη επίσης η εκτροπή του φωτός από το πεδίο βαρύτητας, παίρνοντας φωτογραφίες των άστρων που γειτονεύουν στον ήλιο, κατά τη διάρκεια μιας ολικής του έκλειψης και μια φορά που ο ήλιος έλειπε από τη συγκεκριμένη θέση του ουρανού, όπου βρισκόταν όταν τραβήχθηκε η πρώτη φωτογραφία.
Αν οι εξισώσεις της θεωρίας της γενικής σχετικότητας περιορισθούν στην περίπτωση όπου τα πεδία βαρύτητας πρέπει να θεωρούνται αδύνατα και όπου όλες οι μάζες μετακινούνται, σε σχέση με το σύστημα συντεταγμένων, με ταχύτητες που είναι πολύ μικρές συγκρινόμενες μ' αυτή του φωτός, έχουμε τη θεωρία του Newton σαν πρώτη πολύ καλή προσέγγιση, η οποία έτσι βγαίνει χωρίς καμία υπόθεση, ενώ ο Newton ήταν υποχρεωμένος να υποθέσει ότι η έλξη ανάμεσα σε υλικά σημεία είναι αντιστρόφως ανάλογη με το τετράγωνο της απόστασής τους. Αν αυξηθεί η ακρίβεια υπολογισμού, διαπιστώνονται διαφορές από τη θεωρία του Newton, που βέβαια ξεφεύγουν ακόμη όλες από την παρατήρηση εξαιτίας της μικρότητάς τους. Αυτή η συμφωνία πάει τόσο μακριά που δεν βρέθηκαν ως τώρα παρά λίγες συνέπειες της θεωρίας της σχετικότητας προσιτές στο πείραμα όπου δεν οδηγεί η προ της σχετικότητας Νευτώνεια φυσική, παρά τη βαθιά διαφορά των βασικών υποθέσεων των δύο θεωριών. Η θεωρία της σχετικότητας βρήκε τεράστια εφαρμογή στον υποατομικό κόσμο των ιλιγγιωδών ταχυτήτων.
Το πιο εντυπωσιακό αποτέλεσμα της κυρτότητας του χωροχρόνου, στην περιοχή της αστροφυσικής είναι ο θάνατος των άστρων. Πεθαίνοντας από βαρύτητα, το άστρο γίνεται όλο και πιο πυκνό. Η δύναμη της βαρύτητας στην επιφάνειά του γίνεται συνεχώς ισχυρότερη και, κατά συνέπεια, ο χωροχρόνος γύρω του υιοθετεί μιαν όλο και μεγαλύτερη κυρτότητα. Η αυξανόμενη βαρύτητα στην επιφάνεια του άστρου εμποδίζει οποιαδήποτε διαφυγή σωματιδίων ή ενέργειας προς το διάστημα. Από ένα σημείο κι έπειτα, ακόμη και το φως δεν μπορεί να ξεφύγει από την επιφάνειά του, εφόσον η βαρύτητα είναι ισχυρότερη από την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. Η επικοινωνία με τα άλλα άστρα, και γενικά με τον εξωτερικό χώρο, παύει να υφίσταται. Πράγμα που σημαίνει ότι μας είναι αδύνατο να δούμε ένα τέτοιο άστρο και για τον λόγο αυτό το ονομάζουμε μαύρη τρύπα. Οι μαύρες τρύπες αντιπροσωπεύουν τις ιδανικές εκφράσεις της σχετικιστικής θεωρίας. Η ισχυρή κυρτότητα του χωροχρόνου στην περιοχή τους δεν περιορίζει μόνο την εκπομπή του φωτός, αλλά παράλληλα εξαφανίζει την έννοια του χρόνου. Αν υποτεθεί ότι είχαμε στη διάθεσή μας ένα εκπληκτικό ρολόι, ικανό να τοποθετηθεί και να λειτουργήσει στην επιφάνεια ενός άστρου που πεθαίνει, θα βλέπαμε πως, μετά τη διακοπή της εκπομπής του φωτός, θα σταματούσαν και οι χτύποι του ρολογιού, όχι εξαιτίας κάποιας βλάβης, αλλά επειδή στα πλαίσια ενός τόσο κυρτού και τόσο πυκνού σώματος όπως η μαύρη τρύπα, η ροή του χρόνου χάνει τη σημασία της και παύει να υφίσταται. Το όλο θέμα και πάλι ανάγεται στη φύση και στη θέση του παρατηρητή. Και αυτό, γιατί στο εσωτερικό του άστρου που πεθαίνει δεν παρατηρείται τίποτε το αφύσικο, ακόμη και όταν η εκπομπή του φωτός γίνει αδύνατη. Ο χρόνος στο εσωτερικό της μαύρης τρύπας συνεχίζει ν' ακολουθεί τη φυσιολογική του ροή. Ας θέσουμε τώρα το ερώτημα: Πότε πεθαίνει ένα άστρο στην πραγματικότητα; Από την άποψη της σχετικιστικής θεωρίας που μας προσέφερε την παραπάνω περιγραφή, το ερώτημα αυτό δεν έχει απάντηση ούτε νόημα. Η διάρκεια της ζωής ενός άστρου που πεθαίνει είναι σχετική και εξαρτάται από το πλαίσιο αναφοράς που χρησιμοποιεί ο παρατηρητής. Στη γενική θεωρία της σχετικότητας οι κλασσικές έννοιες του χώρου και του χρόνου, σαν απόλυτες και ανεξάρτητες φυσικές οντότητες, διαγράφονται οριστικά. Από τη μια μεριά, όλες οι μετρήσεις που αφορούν το χώρο και το χρόνο είναι σχετικές και εξαρτώνται από την κατάσταση της κίνησης του παρατηρητή. Από την άλλη μεριά, η όλη δομή του χωροχρόνου συνδέεται άμεσα και αδιαχώριστα με τη διανομή της μάζας. Ο χώρος είναι κυρτός σε μιαν ανεξάρτητη ποικιλία καμπυλότητας και ο χρόνος ακολουθεί διαφορετικούς ρυθμούς ροής στα διαφορετικά σημεία του σύμπαντος. Επίσης, εφόσον τα υποατομικά σωματίδια μπορούν να κινηθούν σύμφωνα ή αντίθετα με τη ροή του χρόνου, όπως μπορούν να κινηθούν δεξιά και αριστερά μέσα στον χώρο, η μονοδρομική αντίληψη του χρόνου χάνει τη σημασία της!
Οι περισσότεροι πιστεύουν ότι ο χρόνος κυλάει. Στην πραγματικότητα μένει εκεί που βρίσκεται. Για το απόλυτο δεν υπάρχει ούτε χρόνος, ούτε χώρος, ούτε αιτιότητα. Ενώ η Ευρωπαϊκή σκέψη προσπάθησε να εντοπίσει την πραγματικότητα στην ουσία, ο μυστικισμός (η αρχαία ανατολική φιλοσοφία) την αναζήτησε στις σχέσεις! Οι Βουδιστές συνέλαβαν τα αντικείμενα σαν γεγονότα και όχι σαν υλικά πράγματα!
Οι ατομικές αντιλήψεις τόσο του Δημόκριτου όσο και του Newton βασίστηκαν στη θεμελιώδη διάκριση ανάμεσα στην ύλη και τον «κενό» χώρο. Από την άποψη της γενικής σχετικότητας, η διάκριση αυτή καταργείται. Όπου υπάρχει ένα σώμα με μεγάλη μάζα, εκεί θα υπάρχει αναγκαστικά κι ένα πεδίο βαρύτητας. Και αυτό το πεδίο εκδηλώνεται σαν η κυρτότητα του χώρου που περιβάλλει το σώμα αυτό. Ωστόσο δεν θα πρέπει να νομίζουμε ότι το πεδίο «γεμίζει» τον χώρο και τον υποχρεώνει να «γίνει» κυρτός. Δεν υπάρχει διάκριση ανάμεσα στις 2 έννοιες: Το πεδίο είναι ο κυρτός χώρος. Στη γενική σχετικότητα, το πεδίο βαρύτητας και η δομή ή η γεωμετρία του χώρου ταυτίζονται. Στις εξισώσεις πεδίου του Einstein εκφράζονται με την ίδια μαθηματική ποσότητα. Λέει σχετικά ο Einstein: «Είμαστε υποχρεωμένοι να δούμε την ύλη σαν σύνθεση των περιοχών του χώρου, όπου το πεδίο εμφανίζει μιαν ιδιαίτερη ένταση. Σε αυτό το νέο είδος φυσικής δεν υπάρχει θέση για το πεδίο και την ύλη. Η μόνη πραγματικότητα είναι το πεδίο». Η ανακάλυψη πως η μάζα δεν είναι τίποτα περισσότερο παρά μια μορφή ενέργειας μας υποχρέωσε να μεταβάλουμε ριζικά τις απόψεις μας ως προς τα σωματίδια. Στη σύγχρονη φυσική, η μάζα δεν συνδέεται πλέον με την υλική ουσία, και, κατά συνέπεια, τα σωματίδια δεν θεωρούνται πλέον σαν τα θεμελιώδη συστατικά της ύλης, αλλά σαν συμπυκνώσεις ενέργειας. Τα σωματίδια δεν πρέπει να απεικονίζονται σαν στατικά τρισδιάστατα αντικείμενα, σαν αναρίθμητες μικροσκοπικές μπαλίτσες ή κόκκοι άμμου, αλλά σαν τετραδιάστατες οντότητες του χωροχρόνου. Από την άποψη του χώρου μοιάζουν με αντικείμενα που διαθέτουν κάποια μάζα, ενώ από την άποψη του χρόνου μοιάζουν περισσότερο σαν εξελικτικές διαδικασίες που απαιτούν την αντίστοιχη για την πραγματοποίησή τους ενέργεια. Η θεωρία των κβάντα απέδειξε ότι τα σωματίδια δεν είναι απομονωμένοι κόκκοι ύλης, αλλά πρότυπα πιθανοτήτων, δεσμοί ενός αδιάσπαστου κοσμικού πλέγματος. Η θεωρία του πεδίου, που μας προτείνει η σύγχρονη φυσική, μας υποχρεώνει να εγκαταλείψουμε την κλασσική διάκριση ανάμεσα στο κενό και στην ύλη, μάλιστα δε από τη στιγμή που αποδείχθηκε πως τα στοιχειώδη σωματίδια μπορούν να γεννηθούν αυθόρμητα από το κενό, χωρίς την παρουσία νουκλεονίου ή άλλου ισχυρού σωματιδίου. Το κενό δεν είναι κενό! Αντίθετα περιέχει έναν απεριόριστο αριθμό σωματιδίων που δημιουργούνται και εξαφανίζονται ασταμάτητα. Μια βουδιστική σούτρα λέγει: «Η μορφή είναι το κενό, το κενό είναι η μορφή. Το κενό δεν διαφέρει από τη μορφή, η μορφή δεν διαφέρει από το κενό. Ό,τι είναι το κενό είναι και η μορφή, ό,τι είναι η μορφή είναι και το κενό!». Το κενό είναι στην πραγματικότητα ένα ολοζώντανο κενό! Οι περισσότεροι σύγχρονοι φυσικοί θεωρούν την ανακάλυψη του δυναμικού χαρακτήρα του κενού σαν τη σημαντικότερη στην ιστορία της επιστήμης. Το κενό έπαψε να θεωρείται σαν το παθητικό και αμέτοχο πλαίσιο της διαδραμάτισης των φυσικών φαινομένων και αναγνωρίστηκε σαν μια δυναμική κατάσταση πρωταρχικής σημασίας. «Όποιος μάθει πως το μεγάλο κενό είναι γεμάτο από τσι, καταλαβαίνει πως δεν υπάρχει ανυπαρξία» (Τσανγκ Τσάι). Όταν είμαστε υγιείς δεν αντιλαμβανόμαστε τα διαφορετικά μέρη του σώματός μας, αλλά αντιλαμβανόμαστε το σώμα μας σαν ένα αδιάσπαστο σύνολο. Η αντίληψη αυτή δημιουργεί το αίσθημα της υγείας και της χαράς.
Σύμφωνα με τη θεωρία της γενικής σχετικότητας, οι γεωμετρικές ιδιότητες του χώρου δεν είναι ανεξάρτητες, επηρεάζονται από την ύλη. Συνεπώς δεν υπάρχει ζήτημα, στον κόσμο μας, ακριβούς ισχύος της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Είναι όμως δυνατό ο κόσμος μας να διαφέρει λίγο μόνον από έναν κόσμο Ευκλείδειο, και η υπόθεση αυτή είναι πολύ πιθανή διότι ακόμη και μάζες του μεγέθους του Ήλιου μας έχουν μια πολύ περιορισμένη επίδραση στη μετρική του περιβάλλοντος διαστήματος. Θα μπορούσαμε να φανταστούμε τον κόσμο μας, πως συμπεριφέρεται, από γεωμετρικής άποψης, σαν μια επιφάνεια ακανόνιστα καμπυλωτή στη λεπτομέρεια, αλλά που δεν ξεφεύγει πουθενά με υπολογίσιμο τρόπο από ένα επίπεδο, όπως για παράδειγμα η επιφάνεια μιας λίμνης ταραγμένης από μικρά κύματα. Ο υπολογισμός δείχνει πως αν η ύλη ήταν ομοιόμορφα κατανεμημένη, ο κόσμος θα έπρεπε αναγκαία να είναι σφαιρικός (ή ελλειπτικός). Επειδή όμως η ύλη είναι στη λεπτομέρεια ανώμαλα καταμερισμένη, ο πραγματικός κόσμος ξεφεύγει στην πραγματικότητα από το σφαιρικό σχήμα, θα είναι σχεδόν σφαιρικός. Θα πρέπει όμως απαραίτητα να είναι πεπερασμένος αλλά όχι περιορισμένος. Πράγματι, υπάρχει δυνατότητα ενός πεπερασμένου κόσμου και εντούτοις μη περιορισμένου. Ας θυμηθούμε τους κόσμους των δύο εντόμων: Για την ψείρα που ζει στη σφαίρα ο κόσμος είναι πεπερασμένος και εν τούτοις χωρίς όρια! Αυτή η σφαιρική επιφάνεια της ψείρας είναι δύο διαστάσεων. Εύκολα πειθόμαστε ότι το σφαιρικό διάστημα με τρεις διαστάσεις είναι τελείως ανάλογο μ' αυτό των δύο διαστάσεων. Είναι περιορισμένο, αλλά δεν έχει άκρη (όρια). Συμπεραίνεται από αυτά που είπαμε ότι κλειστά διαστήματα χωρίς όρια είναι δυνατά. Ανάμεσα σ' αυτά, το σφαιρικό διάστημα (ή ελλειπτικό) διακρίνεται για την απλότητά του, δεδομένου ότι όλα τα σημεία είναι ισοδύναμα.
Μνημειώδη γνωμικά του Einstein
Η επαφή με το μυστήριο είναι η ωραιότερη εμπειρία του ανθρώπου.
Τι ξέρει το ψάρι για το νερό, που μέσα του περνά ολόκληρη τη ζωή του;
Η απάντηση είναι «ναι» ή «όχι», ανάλογα με την ερμηνεία.
Αν είχα καταλάβει από πριν την έννοια του χρόνου, θα είχα γίνει ωρολογοποιός.
Δεν μπορώ να πιστέψω πως ο θεός παίζει ζάρια στο Σύμπαν.
Πιστεύω πως η αγάπη είναι πολύ καλύτερος δάσκαλος από την αίσθηση καθήκοντος.
Δεν έχω κανένα ιδιαίτερο ταλέντο. Απλώς, είμαι με πάθος περίεργος.
Δεν ενδιαφέρομαι για διδακτορικά... τη βαρέθηκα όλη αυτή την κωμωδία.
Για να με τιμωρήσει για την περιφρόνησή μου στις αυθεντίες, η μοίρα έκανε κι εμένα μια αυθεντία.
Πιστεύω στο θεό του Σπινόζα, που αποκαλύπτει τον εαυτό του στη σοφή αρμονία του κόσμου, και όχι σ' έναν θεό που ασχολείται με τις τύχες και τις πράξεις των ανθρώπων.
ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ: ΓΑΡΓΕΡΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗ, ΘΥΜΑΚΗ ΓΙΩΡΓΟΥ
ΤΑΞΗ: Α1
ΠΗΓΕΣ: ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΒΗΜΑ
ΙΝΤΕΡΝΕΤ:geocities.com
physics4u.gr-users.otenet.gr/~voyager/einstein.htm-45k
Όπως αντιλαμβάνεστε πρόκειται για μια σχολική εργασία, οπότε οφείλουμε να συγχαρούμε τους μαθητές για το αποτέλεσμα, αλλά και τους εκπαιδευτικούς για την πρωτοβουλία τους να προσφέρουν την ευκαιρία στα παιδιά να ασχοληθούν με ένα αντικείμενο τόσο ενδιαφέρον, κάτι, που στα ελληνικά σχολεία δυστυχώς, είναι στην κρίση και στη διάθεση του κάθε εκπαιδευτικού να προσφέρει περισσότερη "εξωσχολική" γνώση.
Η πράξη τους να θέσουν την εργασία στη διάθεση του διαδυκτικού κοινού τους τιμά και για αυτό τους ευχαριστούμε!
LinkBack URL
About LinkBacks
Albert Einstein 
Απάντηση με παράθεση
Γρήγοροι Σύνδεσμοι 
Social Networks
Copyright 2011-2012 Blogthea.gr
Bookmarks