Θέμα: Παράδοξο του Ζήνωνα

Εκείνο που διαφεύγει από όλα τα μέλη, που απάντησαν στο παράδοξο του Ζήνωνα είναι η έννοια και η αντίληψη, του τι πίστευαν τότε ότι είναι ο "χώρος". Επομένως ο Ζήνων ρωτάει αν ο χώρος είναι πεπερασμένος ή άπειρος, σταθερός ή μεταβαλλόμενος, περιέχει ή περιέχεται κτλ. Την έννοια του χώρου την φιλοσόφησαν ο Δημόκριτος, ο Επίκουρος, ο Πλάτων και ο Αριστοτέλης. Η λανθασμένη αντίληψη του Αριστοτέλη ταλάνισε όλο τον μεσαίωνα τους μελετητές. Κανείς τους δεν αποδεχόταν τό άπειρο του χώρου και την ύπαρξη του κενού εκτός απο τον Δημόκριτο και τον Επίκουρο όσο αφορά την ύπαρξη του κενού. Μόνο η σύγχρονη αντίληψη για την απειρία και την διαστολή του "χώρου" απαντάει στο παράδοξο.

Με το παράδοξο του Αχιλλέα, ο Ζήνωνας ισχυρίζεται ότι δεν μπορεί να υπάρξει κίνηση. Για να κινείται ένα αντικείμενο, θα πρέπει, σε διαφορετικές στιγμές, να βρίσκεται στο καθένα σημείο ξεχωριστά αλλά και σε όλα μαζί τα άπειρα σημεία. Ούτε αυτό όμως, δεν αρκεί να φτάσουμε κάπου, γιατί τα σημεία δεν έχουν μέγεθος και το να περνάμε από ένα άπειρο αριθμό σημείων δεν αποτελεί κάποιου είδους κίνηση. Το στρίμωγμα των άπειρων σημείων είναι κοντά στο ένα, αφού σήμερα γνωρίζουμε, ότι η ακολουθία της συνεχούς διχοτόμησης μιας απόστασης είναι φραγμένη και συγκλίνουσα με όριο το ένα. Αν δηλαδή πάρουμε ένα διάστημα [ 0, 1 ] και σχεδιάσουμε την καμπύλη των άπειρων σημείων, της συνεχούς διχοτόμησης του διαστήματος, στους άξονες χρόνου - απόστασης, η καμπύλη μας θα είναι ασύμπτωτη, στην κάθετη ευθεία που διέρχεται από το σημείο ένα, πλησιάζοντάς την συνέχεια, χωρίς ποτέ να την αγγίξει.
Με το παράδοξο του Αχιλλέα, ο Ζήνωνας λοιπόν θέτει δύο πολύ σοβαρά ερωτήματα:
1) Μπορεί ο φυσικός χώρος να διαιρεθεί επΆ άπειρο;
2) Ο εννοιολογικός χώρος μπορεί να διαιρεθεί επΆ άπειρο;
Στο πρώτο ερώτημα απάντησε ο Planck. Το μήκος Planck είναι το μικρότερο μήκος χώρου που η εκδήλωση των φυσικών φαινομένων είναι ένας κβαντικός αφρός που δεσπόζει η απροσδιοριστία. Εδώ, δεν μπορεί να γίνει λόγος για αποστάσεις και για χρόνο. Στον χώρο της κβαντικής φυσικής έχει αποδειχτεί, ότι εάν σε ένα ζεύγος κβαντισμένων σωματιδίων αλλάξει μια παράμετρος, ακαριαία αλλάζει και στο ταίρι του, όσο μακριά κι αν βρίσκονται στο χώρο. Μέχρι αυτή την τάξη μεγέθους το παράδοξο στερείται νοήματος. Έτσι φαίνεται, ότι στον φυσικό χώρο, όπως τον αντιλαμβανόμαστε, ο Αχιλλέας πάντα θα τερματίζει πρώτος δηλαδή τίποτα το παράδοξο.
Η αξιωματική ύπαρξη του σημείου, και η ανυπαρξία χρόνου στον μαθηματικό εννοιολογικό χώρο, μας δίνει την δυνατότητα να τα συσσωρεύουμε όπου θελήσουμε, αφού είναι αδιάστατα, με αποτέλεσμα ο Αχιλλέας να βρίσκεται για πάντα στο σημείο ένα, που αντιπροσωπεύει το άθροισμα των επί μέρους αποστάσεων που έχει τρέξει. Η απουσία χρόνου στην μετακίνηση από σημείο σε σημείο δίνει υπόσταση στο παράδοξο, δικαιώνοντας το Ζήνωνα για την ανυπαρξία κίνησης σον μαθηματικό εννοιολογικό χώρο.

Υ.Γ Απολογούμαι που ένα απρόβλεπτο γεγονός δεν μου επέτρεψε να ολοκληρώσω το σχόλιο μου και το ολοκληρώνω εκ των υστέρων.

Ο Ορισμος του Οριου σου δινει την απαντηση για το γιατι το 0,99...=1 απλα δεν το πιστευεις ευκολα.
Κατα την αποψη μου το παραδοξο του Ζηνωνα πλεον δεν ειναι καν παραδοξο, ηταν παραδοξο για τους αρχαιους ελληνες που μετα απο τον Πλατωνα και τον Αριστοτελη αποδεκτηκαν τισ εννοιες του απειρου αλλα και του μηδεν (που απλα δεν το ειχαν στην αριθμιτικη τους μεχρι τοτε).

Δωσατε πολυ καλη αναλυση στο θεμα.Ομως μπορειτε κι αλλο.............................

Αρχικό μήνυμα απο bugman

Όταν λες ή τουλάχιστον υπονοείς πως ούτε σήμερα αντιλαμβανόμαστε πλήρως αυτές τις έννοιες, τότε λες αυτό που υποδεικνύει και ο Ζήνωνας μέσω των παραδόξων του. Το να είσαι σε θέση να προβλέψεις πως ένα πράγμα θα ξανασυμβεί είναι ένα, αλλά το πως και γιατί ακριβώς συμβαίνει αυτό είναι άλλο. Εγώ ας πούμε πάντα απορούσα σε ποιο σημείο το 09999 γίνεται ένα

Λοιπόν, ας πω κι εγώ κάποια πραγματάκια, μιας και πάντα είχα μεγάλη αγάπη για τα μαθηματικά:

Πρώτον, τις έννοιες αυτές κάποιος που έχει ασχοληθεί σοβαρά με μαθηματικά μπορεί να τις καταλάβει, σε τέτοιο βαθμό που να είναι σαν να είναι μπροστά του... Και όταν λέω σοβαρά εννοώ πέρα από αυτά που μας μαθαίνουν στο σχολείο. Απλά είναι τόσο δύσκολο κάποιος να τις χωνέψει, γιατί τα μαθηματικά όταν στα μαθαίνουν ξερά, είναι πολύ δυσνόητα. Μόνο όταν σου χρειαστεί να χρησιμοποιήσεις τα μαθηματικά σε κάποιο πιο πρακτικό πρόβλημα καταλαβαίνεις τις λεπτές έννοιες.

Για παράδειγμα, τον τετραδιάστατο χώρο μπορείς να τον φανταστείς πολύ απλά αν σκεφτείς ότι η τέταρτη διάσταση είναι ο χρόνος. Απλά αυτό δε μπορεί να αναπαρασταθεί στο επίπεδο, εκτός κι αν χρησιμοποιήσεις διαφορετικές γραφικές παραστάσεις για κάθε χρονική στιγμή.

Δεύτερον, το όριο δεν σου λέει ΠΟΤΕ ότι το 0.999 είναι ίσο με το 1. Απλά, σου λέει ότι είναι "πολύ κοντά". Τι σημαίνει πολύ κοντά; Οπως έλεγε ένας πολύ καλός μαθηματικός που είχα στο λύκειο, είναι σαν να έχεις έναν τοίχο, στον οποίο να περπατάς παράλληλα, να πλησιάζεις, να πλησιάζεις, αλλά ποτέ να μην τον ακουμπάς.

Τι σημαίνει το πολύ κοντά σε αυτή την περίπτωση; Αν πας καθαρά με λογική, έχεις κάνει την εξής παραδοχή, ότι τα δύο σώματα είναι σημειακά. Όμως, και τα δύο σώματα έχουν κάποιες διαστάσεις. Η απόστασή τους θα μειώνεται συνέχεια, μέχρι που κάποια στιγμή θα γίνει ίση με το άθροισμα των διαστάσεων των σωμάτων (αν ήταν κυκλικά θα λέγαμε με το άθροισμα των ακτίνων), οπότε και τα δύο σώματα θα ακουμπήσουν. Αυτός άλλωστε δεν είναι ο ορισμός του ορίου; Η διαφορά της ποσότητας και της σταθερής τιμής (στην οποία λέμε ότι τείνει) να είναι μικρότερη από ε, όπου ε έναν πολύ μικρός αριθμός; Ε, σε αυτή την περίπτωση το ε είναι το άθροισμα των ακτίνων των δύο σωμάτων.

Αρχικό μήνυμα απο mini

Λοιπόν, ας πω κι εγώ κάποια πραγματάκια, μιας και πάντα είχα μεγάλη αγάπη για τα μαθηματικά:

Πρώτον, τις έννοιες αυτές κάποιος που έχει ασχοληθεί σοβαρά με μαθηματικά μπορεί να τις καταλάβει, σε τέτοιο βαθμό που να είναι σαν να είναι μπροστά του... Και όταν λέω σοβαρά εννοώ πέρα από αυτά που μας μαθαίνουν στο σχολείο. Απλά είναι τόσο δύσκολο κάποιος να τις χωνέψει, γιατί τα μαθηματικά όταν στα μαθαίνουν ξερά, είναι πολύ δυσνόητα. Μόνο όταν σου χρειαστεί να χρησιμοποιήσεις τα μαθηματικά σε κάποιο πιο πρακτικό πρόβλημα καταλαβαίνεις τις λεπτές έννοιες.

Για παράδειγμα, τον τετραδιάστατο χώρο μπορείς να τον φανταστείς πολύ απλά αν σκεφτείς ότι η τέταρτη διάσταση είναι ο χρόνος. Απλά αυτό δε μπορεί να αναπαρασταθεί στο επίπεδο, εκτός κι αν χρησιμοποιήσεις διαφορετικές γραφικές παραστάσεις για κάθε χρονική στιγμή.

Δεύτερον, το όριο δεν σου λέει ΠΟΤΕ ότι το 0.999 είναι ίσο με το 1. Απλά, σου λέει ότι είναι "πολύ κοντά". Τι σημαίνει πολύ κοντά; Οπως έλεγε ένας πολύ καλός μαθηματικός που είχα στο λύκειο, είναι σαν να έχεις έναν τοίχο, στον οποίο να περπατάς παράλληλα, να πλησιάζεις, να πλησιάζεις, αλλά ποτέ να μην τον ακουμπάς.

Τι σημαίνει το πολύ κοντά σε αυτή την περίπτωση; Αν πας καθαρά με λογική, έχεις κάνει την εξής παραδοχή, ότι τα δύο σώματα είναι σημειακά. Όμως, και τα δύο σώματα έχουν κάποιες διαστάσεις. Η απόστασή τους θα μειώνεται συνέχεια, μέχρι που κάποια στιγμή θα γίνει ίση με το άθροισμα των διαστάσεων των σωμάτων (αν ήταν κυκλικά θα λέγαμε με το άθροισμα των ακτίνων), οπότε και τα δύο σώματα θα ακουμπήσουν. Αυτός άλλωστε δεν είναι ο ορισμός του ορίου; Η διαφορά της ποσότητας και της σταθερής τιμής (στην οποία λέμε ότι τείνει) να είναι μικρότερη από ε, όπου ε έναν πολύ μικρός αριθμός; Ε, σε αυτή την περίπτωση το ε είναι το άθροισμα των ακτίνων των δύο σωμάτων.

Ο Ζήνων βέβαια δεν αρνήθηκε ποτέ την κίνηση αλλά παρατήρησε την ασυμβατότητα της, με ορισμένες πτυχές της Πυθαγόρειας σκέψης, σχετικά με την φύση των συνεχών μεγεθών.
Ο Ζήνων αποδεικνύει, ότι το συνεχές – το επΆ άπειρον διαιρετό – δεν μπορεί να θεωρηθεί ως άθροισμα μη διαιρετών στοιχείων. Αν μια γραμμή αποτελείται από μια ακολουθία σημείων, τότε η κίνηση δεν είναι εφικτή.
Μόνο ο χώρος της φυσικής εμπειρίας προσφέρεται για μετρήσεις μήκους ή απόστασης, επειδή το «μήκος» και η «απόσταση» είναι επιχειρησιακές έννοιες, οι οποίες αποκτούν το μαθηματικό τους περιεχόμενο, μέσα από επιστημονικούς συσχετισμούς.
Τα σύγχρονα μαθηματικά έχουν δείξει, ότι μπορεί να αναπτυχθεί μια λογικά συνεπής θεωρεία, ενός μη μετρικού χώρου, χωρίς να υπεισέρχεται καθόλου η έννοια της απόστασης.