Α1. Το 1 είναι στο σύνολο Ν.
Α2. Αν το χ είναι στο Ν, τότε ο επόμενος αριθμός χ' είναι στο Ν.
Α3. Δεν υπάρχει χ τέτοιο ώστε χ'=1.
Α4. Αν χ δεν είναι 1, τότε υπάρχει ένας ψ στο Ν ώστε ψ'=χ.
Α5. Αν το S είναι υποσύνολο τον Ν, το 1 είναι στο S, και ισχύει πως (χ ανήκει στο S => χ' ανήκει στο S), τότε S=Ν.
Τα α και β είναι στο Ν. Αν β=1, τότε ορίστε α+β=α' χρησιμοποιώντας τα Α1 και Α2. Αν β=/=1, τότε γ'=β, όπου γ είναι στο Ν (με τη χρήση του Α4).
Ορισμός του 2 είναι 2=1'
Το 2 ανήκει στο Ν λόγω των Α1, Α2, και του ορισμού του 2.
Θεώρημα: 1+1=2
Απόδειξη: Με τη χρήση του πρώτου μέρους του ορισμού του + με α=β=1, έχουμε 1+1=1'=2
Bookmarks